Question

【題目】在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的參數方程為：，為參數點的極坐標為，曲線C的極坐標方程為．

Ⅰ試將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，并求曲線C的焦點在直角坐標系下的坐標；

Ⅱ設直線l與曲線C相交于兩點A，B，點M為AB的中點，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線C的直角坐標方程為，焦點坐標為；（Ⅱ）．

【解析】

Ⅰ把，代入曲線C的方程，可得曲線C的直角坐標方程．Ⅱ設點A，B，M對應的參數為，，，由題意可知把直線l的參數方程代入拋物線的直角坐標方程，利用韋達定理求得的值，可得的值．

解：Ⅰ把，代入，可得曲線C的直角坐標方程為，

它是開口向上的拋物線，焦點坐標為．

Ⅱ點P的直角坐標為，它在直線l上，在直線l的參數方程中，

設點A，B，M對應的參數為，，，由題意可知．

把直線l的參數方程代入拋物線的直角坐標方程，得．

因為，

所以．