Question

已知z是復數，z+2i與

z

2-i

均為實數（i為虛數單位），且復數（z+ai）²在復平面上對應點在第一象限．
（Ⅰ）求z的值；
（Ⅱ）求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復數代數形式的乘除運算

專題：數系的擴充和復數

分析：（I）利用復數的運算法則和復數為實數的充要條件即可得出．
（II）利用復數的運算法則和幾何意義即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設z=x+yi（x，y∈R），
又z+2i=x+（y+2）i，且為實數，∴y+2=0，解得y=-2．
∴

z

2-i

=

x-2i

2-i

=

(x-2i)(2+i)

(2-i)(2+i)

=

(2x+2)+(x-4)i

5

，
∵

z

2-i

為實數，∴

x-4

5

=0，解得x=4．
∴z=4-2i
（Ⅱ）∵復數（z+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+8（a-2）i=（12+4a-a²）+（8a-16）i，
∴

12+4a-a2＞0 8a-16＞0

，解得2＜a＜6．
即實數a的取值范圍是（2，6）．

點評：本題考查了復數的運算法則和復數為實數的充要條件、復數的幾何意義、不等式組的解法等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．