Question

已知圓C的方程是x²+y²-2x-4y+m=0
（1）若圓C的半徑為2，求m的值；
（2）若圓C與直線l：x+2y-4=0相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|=

4 5

5

，求m的值；
（3）在（2）的條件小，從圓C外一點(diǎn)M（a，b）向圓做切線MT，T為切點(diǎn)，且|MT|=|MO|（O為原點(diǎn)），求|MO|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的一般方程,圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）將圓C的方程x²+y²-2x-4y+m=0配方，能求出m=1．
（2）圓C的方程化為（x-1）²+（y-2）²=5-m，得圓心C（1，2），r=

5-m

，利用圓C到直線l：x+2y-4=0的距離，能求出m=4．
（3）由（2）知圓的方程（x-1）²+（y-2）²=1，從而得到a+2b-2=0，|MO|²=a²+b²，由此當(dāng)|MO|²=a²+b²與直線a+2b-2=0相切時(shí)，能求出|MO|的最小值．

解答： 解：（1）將圓C的方程x²+y²-2x-4y+m=0
配方，得（x-1）²+（y-2）²=5-m，其中半徑
r=

5-m

，…（2分）
當(dāng)圓半徑為2，即5-m=4，得m=1．…（4分）
（2）圓C的方程化為（x-1）²+（y-2）²=5-m，
得圓心C（1，2），r=

5-m

，
圓C到直線l：x+2y-4=0的距離為
d=

|1+2×2-4|

5

=

1

5

，又|PQ|=

4 5

5

，
由r2=d2+(

|PQ|

2

)2，即5-m=（

1

5

）²+（

2 5

5

）²，
解得m=4．…..（9分）
（3）由（2）知圓的方程為x²+y²-2x-4y+4=0，
配方得（x-1）²+（y-2）²=1，
|MT|²=|MC|²-|CT|²=（a-1）²+（b-2）²=1，
又|MT|=|MO|，∴|MT|²=|MO|²，
∴a²+b²=（a-1）²+（b-2）²-1，
化簡(jiǎn)，得a+2b-2=0，|MO|²=a²+b²，
當(dāng)|MO|²=a²+b²與直線a+2b-2=0相切時(shí)，
|MO|最小值為

2

5

=

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)的求法，考查線段的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．