Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，平面平面，四邊形為等腰梯形，四邊形為菱形．已知，，．

（1）線段上是否存在一點，使得平面？證明你的結論．

（2）若線段在平面上的投影長度為，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）且是的中點，證明見解析;（2）．

【解析】

（1）首先利用三角形的中位線推出，然后利用直線與平面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量、平面的法向量，利用向量即可求解.

解：（1）在線段上存在一點，使得平面，且是的中點．

證明如下：

如圖，連接交于點，連接．四邊形為菱形，為的中點．

在中，由中位線定理可得.

平面，平面，平面．

在線段上存在一點，使得平面，且是的中點．

（2）解：，，線段在平面上的投影長度為，

線段在平面上的投影長度為．因為平面平面，交線為，

如圖，過作于點，則平面，

則，為線段的中點．以為坐標原點，所在的直線為軸，

過平行于的直線為軸，過垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標系，

可得，，，，，，

．

設平面的法向量為，則，得，

取，則．設直線與平面所成的角為，

則，

直線與平面所成角的正弦值為．