Question

【題目】斜率為的直線過拋物線：的焦點，且與拋物線交于，兩點．

（1）設點在笫一象限，過作拋物線的準線的垂線，為垂足，且，求點的坐標；

（2）過且與垂直的直線與圓：交于，兩點，若與面積之和為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設拋物線的準線與軸的交點為，由拋物線的定義可得，進一步可得，，過M作軸于，所以，，，所以的坐標為；

（2）設直線的方程為，與拋物線聯立得到根與系數的關系，進一步得到弦長，利用勾股定理、弦心距可得弦長，，代入計算即可得到答案.

（1）設拋物線的準線與軸的交點為，

根據拋物線的定義得，則．

∵，，，

∴，，

過M作軸于，所以，，，

∴點的坐標為．

（2）設直線的方程為，

與聯立得，

令，，則，，

．

∵，∴直線的方程為，即，

∴圓心到直線的距離為，

∵圓的半徑為，∴，

∴與面積之和

，

∵直線與圓有兩個交點，∴，

令，則，

由，解得或（舍去），

∴，得．