Question

【題目】已知橢圓經過點， 的四個頂點構成的四邊形面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）在橢圓上是否存在相異兩點，使其滿足:①直線與直線的斜率互為相反數；②線段的中點在軸上，若存在，求出的平分線與橢圓相交所得弦的弦長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）3

【解析】試題分析：（1）由橢圓幾何意義得，再根據A在橢圓上，列方程組，解得，（2）先設直線的方程，并與橢圓方程聯立解出E點橫坐標；根據直線與直線的斜率互為相反數，可推出F點橫坐標，再根據線段的中點在軸上，解出直線的斜率，最后根據幾何性質得的角平分線方程為.

試題解析：解：(1)由已知得，

解得，

∴橢圓的方程.

(2)設直線的方程為，代入，得

.(*)

設， ，且是方程(*)的根，

∴，

用代替上式中的，可得，

∵的中點在軸上，∴，

∴，解得，

因此滿足條件的點， 存在.

由平面幾何知識可知的角平分線方程為.

∴所求弦長為.