Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，沿其對角線BD將折起至，使得點在平面ABCD內的射影恰為點B，點E為的中點．

（Ⅰ）求證：平面BDE；

（Ⅱ）若，求與平面BDE所成的角．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）連接交于點，連接，證得，再結合線面平行的判定定理，即可證得平面；

（Ⅱ）通過線面垂直來證明面面垂直，結合根據面面垂直的性質定理來得到線面垂直，從而得到是與平面所成的角，在中，即可求解．

（Ⅰ）如圖所示，連接交于點，則為的中點，

連接，因為點為的中點，則，

且平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）因為點在平面內的射影恰為點，所以，

從而可知，故，且，

所以平面，則有，

不妨設，則，，，，則，如圖所示，在平面與平面上分別過點，作的垂線，垂足重合，記為，

所以平面且平面，故平面平面,

過點作于點，則是與平面所成的角，

在中，，，所以，

又由，所以直線與平面所成的角為．