Question

【題目】已知函數.

（I）若曲線存在斜率為-1的切線，求實數a的取值范圍；

（II）求的單調區間；

（III）設函數，求證：當時， 在上存在極小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）求出函數的導數，問題轉化為存在大于的實數根，根據在時遞增，求出的范圍即可；

（2）求出函數的導數，通過討論的范圍，判斷導數的符號，求出函數的單調區間即可；

（3）求出函數，根據，得到存在，滿足，從而讓得到函數單調區間，求出函數的極小值，證處結論即可.

試題解析：

（I）由得.

由已知曲線存在斜率為-1的切線，所以存在大于零的實數根，

即存在大于零的實數根，因為在時單調遞增，

所以實數a的取值范圍.

（II）由可得

當時， ，所以函數的增區間為；

當時，若， ，若， ，

所以此時函數的增區間為，減區間為.

（III）由及題設得，

由可得，由（II）可知函數在上遞增，

所以，取，顯然，

，所以存在滿足，即存在滿足，所以， 在區間（1，+∞）上的情況如下：

－ 0 +

↘ 極小 ↗

所以當-1<a<0時，g（x）在（1，+∞）上存在極小值.