Question

【題目】已知函數的圖象與軸的交點至少有一個在原點右側．

（1）求實數的取值范圍；

（2）令，求的值（其中表示不超過的最大整數，例如：，)；

（3）對（2）中的求函數的值域．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）分和兩種情況討論，在時進行驗證即可，在時，由可分二次函數有且只有一個零點且為正零點、一個正零點和一個負零點、兩個正零點三種情況進行分類討論，由此可得出實數的取值范圍；

（2）求出，可得出，然后分和兩種情況討論，根據定義得出的值；

（3）分、、三種情況討論，在時代入函數的解析式計算即可，在時，利用函數的單調性得出該函數的值域，在時，考查，結合函數的單調性來得出值域，由此可得出函數的值域.

（1）①若，則，令，得，此時，函數只有一個正零點，合乎題意；

②若，由于.

（i）若函數有且只有一個零點且為正數，則，解得；

（ii）若函數有一個正零點和一個負零點，則，解得；

（iii）若函數有兩個正零點時，則，解得.

綜上所述，實數的取值范圍是；

（2），.

當時，，此時；當時，，此時.

因此，；

（3）.

①當時，;

②當時，，，則單調遞增，此時；

③當時，設，則，，

此時，在上單調遞增，則.

設，

則.

當時，；當且時，，數列單調遞增，；

設，當且，數列單調遞增，

當時，.

所以，當時，函數的值域為.

綜上所述，函數的值域為.