Question

【題目】已知函數f（x）=sin2ωx+2 sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為 ．
（1）求f（ ）的值；
（2）將f（x）的圖象上所有點向左平移m（m＞0）個長度單位，得到y=g（x）的圖象，若y=g（x）圖象的一個對稱中心為（ ，0），當m取得最小值時，求g（x）的單調遞增區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得：f（x）=sin2ωx+2 sinωxcosωx﹣cos2ωx

=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+ sin2ωx

= sin2ωx﹣cos2ωx

=2sin（2ωx﹣ ）

∵f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為 ．

∴周期T= ，由 = ，可得ω=2．

∴f（x）=2sin（4x﹣ ），

∴f（ ）=2sin（4× ﹣ ）=2sin =1

（2）解：由（1）可知f（x）=2sin（4x﹣ ），則g（x）=2sin（4x+4m﹣ ），

∵（ ，0）為y=g（x）圖象的一個對稱中心，

∴2sin（4× +4m﹣ ）=0，解得：4× +4m﹣ =kπ（k∈Z），可得：m= ﹣ ，

當k=1時，m取得最小值

此時g（x）=2sin（4x+ ），

由2k ≤4x+ ≤2k ，k∈Z，解得g（x）的單調遞增區間為：[ ﹣ ， + ]，k∈Z

【解析】（1）由三角函數恒等變換的應用可求函數解析式f（x）=2sin（2ωx﹣ ），由題意可求周期T= ，由周期公式可求ω，從而可得函數解析式，進而得解．（2）由（1）可求g（x）=2sin（4x+4m﹣ ），由題意可得4× +4m﹣ =kπ（k∈Z），可得：m= ﹣ ，可求m的最小值，由2k ≤4x+ ≤2k ，k∈Z，解得g（x）的單調遞增區間．
【考點精析】本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識點，需要掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象才能正確解答此題．