Question

如圖所示，質點P在正方形ABCD的四個頂點上按逆時針方向前進．現在投擲一個質地均勻、每個面上標有一個數字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數字．質點P從A點出發，規則如下：當正方體上底面出現的數字是1，質點P前進一步(如由A到B)；當正方體上底面出現的數字是2，質點P前進兩步(如由A到C)，當正方體上底面出現的數字是3，質點P前進三步(如由A到D)．在質點P轉一圈之前連續投擲，若超過一圈，則投擲終止．
(1)求質點P恰好返回到A點的概率；
(2)在質點P轉一圈恰能返回到A點的所有結果中，用隨機變量ξ表示點P恰能返回到A點的投擲次數，求ξ的數學期望．

Answer 1

(1) P＝P₂＋P₃＋P₄＝＋＋＝.    
(2) Eξ＝2×＋3×＋4×＝. 

（1）由古典概型概率公式得投擲一次正方體玩具，每個數字在上底面的概率為P₁＝＝.再分析質點P恰好返回到A點共有三種情況，投擲兩次質點P返回到A點，有(1,3)、(3,1)、(2,2)三種結果；投擲三次質點P返回到A點，有 (1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三種結果；投擲四次質點P返回到A點，只有 (1,1,1,1)．根據相互獨立事件和互斥事件的概率公式求解；
（2）由（1）得隨機變量ξ的值為2,3,4，分別求出對應的概率，根據期望公式計算得Eξ
(1)投擲一次正方體玩具，每個數字在上底面出現都是等可能的，其概率為P₁＝＝.
只投擲一次不可能返回到A點；若投擲兩次質點P就恰好能返回到A點，則上底面出現的兩個數字應依次為：(1,3)、(3,1)、(2,2)三種結果，其概率為P₂＝()²×3＝；
若投擲三次質點P恰能返回到A點，則上底面出現的三個數字應依次為：(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三種結果，其概率為P₃＝()³×3＝；
若投擲四次質點P恰能返回到A點，則上底面出現的四個數字應依次為：(1,1,1,1)．其概率為P₄＝()⁴＝.
所以，質點P恰好返回到A點的概率為：P＝P₂＋P₃＋P₄＝＋＋＝.      6分
(2)由(1)知，質點P轉一圈恰能返回到A點的所有結果共有以上問題中的7種情況，且ξ的可能取值為2,3,4，
則P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，
所以，Eξ＝2×＋3×＋4×＝.