Question

{a_n}為等差數列，公差d≠0,a_n≠0,(n∈N^*),且a_kx²+2a_k+1x+a_k+2=0(k∈N^*)
(1)求證:當k取不同自然數時，此方程有公共根；
(2)若方程不同的根依次為x₁,x₂,…,x_n,…,
求證:數列為等差數列.

Answer 1

證明同解析

(1）∵{a_n}是等差數列，∴2a_k+1=a_k+a_k+2,
故方程a_kx²+2a_k+1x+a_k+2=0可變為(a_kx+a_k+2)(x+1)=0,
∴當k取不同自然數時，原方程有一個公共根－1 
(2）原方程不同的根為x_k=