Question

已知函數f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x．
（1）已知f（x）滿足下面兩個條件，求a的取值范圍．
①在（-∞，1]上存在極值，
②對于任意的θ∈R，c∈R直線l：xsinθ+2y+c=0都不是函數y=f（x）（x∈（-1，+∞））圖象的切線；
（2）若點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））從左到右依次是函數y=f（x）圖象上三點，且2x₂=x₁+x₃，當a＞0時，△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面積的最大值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出f（x）的導數：f'（x）=-

a+1+ex

1+ex

，接下來考慮條件①：（i）當a≥-1時，可得f'（x）＜0，f（x）在R上單調減，與題意不符；（ii）當a＜-1時，可得f'（x）≤0的解集為{x|x≥ln（-a-1）}，討論f'（x）的符號，得到x₀=ln（-a-1）是f（x）的極大值點，結合題意得ln（-a-1）＜1，所以a∈（-1-e，-1）．再考慮條件②：找出當a∈（-e-1，-1）時，滿足條件②的a的取值范圍，通過討論f′（x）的導數，得到f′（x）在（1，+∞）上單調遞減，而f'（1）=-1-

a

1+e

，f′（x）在（1，+∞）上無限的趨近于-1，可得f'（x）∈（-1，-1-

a

1+e

）．最后根據直線 l 的斜率k=-

1

2

sinθ≤-

1

2

且直線 l 不是函數f（x）圖象的切線，得到-1-

a

1+ex

≤-

1

2

在（1，+∞）上恒成立，即-2a-1≤e^x，由此可得a≥-

1+e

2

．最后綜上所述可得a的取值范圍是[-

1+e

2

，-1）．
（2）根據A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），不妨設x₁＜x₂＜x₃，由（1）的討論得f（x）在R上單調減，f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），且x₂=

x1+x3

2

，由此可用反證法證明A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））三點不共線．接下來用數量積的坐標運算，結合函數表達式證出

BA

•

BC

＜0，可得△ABC是中B為鈍角．若△ABC能是等腰三角形，只能是|

BA

|=|

BC

|，代入所設的數據，并且化簡整理，可得e2x2=ex1+ex3，最后用基本不等式得到 ex1=ex3，與x₁＜x₃矛盾，因此可得△ABC不可能為等腰三角形．

解答：解：（1）f'（x）=a•

ex

1+ex

-a-1=-

a+1+ex

1+ex

，接下來分兩步：
㈠、先考慮條件①：
（i）當a+1≥0時，即a≥-1時，可得f'（x）＜0在R上恒成立，故f（x）在區間（-∞，+∞）上為減函數，與題意不符．
（ii）當a+1＜0時，即a＜-1時，可得f'（x）≤0的解集為{x|x≥ln（-a-1）}，
此時f（x）在（ln（-a-1），+∞）上單調遞減，在（-∞，ln（-a-1））上單調遞增，
從而x₀=ln（-a-1）是f（x）的極大值點，結合題意得ln（-a-1）＜1，a＞-1-e，所以a∈（-1-e，-1）．
㈡、下面找出當a∈（-e-1，-1）時，滿足條件②的a的取值范圍．
又∵f'（x）=-

a+1+ex

1+ex

=-1-

a

1+ex

，
設g（x）=-1-

a

1+ex

，則g'（x）=

aex

(1+ex)2

＜0恒成立，
所以f′（x）在（1，+∞）上單調遞減，而f'（1）=-1-

a

1+e

，
結合f′（x）在（1，+∞）上連續，當x無限的趨近于+∞時，f′（x）無限的趨近于-1，
可得f'（x）∈（-1，-1-

a

1+e

）．
直線 l 的斜率k=-

1

2

sinθ，則 |k|≤

1

2

．
∵直線 l 不是函數f（x）圖象的切線，
∴-1-

a

1+ex

≤-

1

2

在（1，+∞）上恒成立，即-2a-1≤e^x在（1，+∞）上恒成立，
由此可得-2a-1≤e，即a≥-

1+e

2

．
綜上所述，a的取值范圍是[-

1+e

2

，-1）．
（2）由（1）知，a＞0時，f（x）在區間（-∞，+∞）上為減函數，
∵A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），
∴不妨設x₁＜x₂＜x₃，可得f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），x₂=

x1+x3

2

，
下面用反證法說明A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））三點不共線：
若A、B、C三點共線，則有f（x₂）=

1

2

（f（x₁）+f（x₃））
所以 2ex2=ex1+ex3≥2

ex1•ex3

，得x₁=x₃與x₁＜x₂＜x₃矛盾．
接下來說明角B是鈍角：

BA

=（x₁-x₂，f（x₁）-f（x₂）），

BC

=（x₃-x₂，f（x₃）-f（x₂））
∴

BA

•

BC

=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+[f（x₁）-f（x₂）][f（x₃）-f（x₂）]
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，
∴

BA

•

BC

＜0，可得∠B∈（

π

2

，π），即△ABC是中B為鈍角．
假設△ABC為等腰三角形，只能是 |

BA

|=|

BC

|
即：（x₁-x₂）²+[f（x₁）-f（x₂）]²=（x₃-x₂）²+[f（x₃）-f（x₂）]²
∵x₂-x₁=x₃-x₂，∴[f（x₁）-f（x₂）]²=[f（x₃）-f（x₂）]²
結合f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），化簡得2f（x₂）=f（x₁）+f（x₃），
也就是2aln（1+ex2）-2（a+1）x₂=aln（1+ex1）（1+ex3）-（a+1）（x₁+x₃）
將2x₂=x₁+x₃代入即得：2aln（1+ex2）-2（a+1）x₂=aln（1+ex1）（1+ex3）-2（a+1）x₂，
∴2ln（1+ex2）=ln（1+ex1）（1+ex3）?（1+ex2）²=（1+ex1）（1+ex3），
可得e2x2+2ex2=ex1+x3+ex1+ex3?e2x2=ex1+ex3①
而事實上，若①成立，根據ex1+ex3≥2

ex1•ex3

=2ex2，
必然得到 ex1=ex3，與x₁＜x₃矛盾．
所以△ABC不可能為等腰三角形．

點評：本題綜合了利用導數研究曲線上某點切線方程、函數在某點取得極值的條件和直角坐標系中判斷三角形的形狀等知識點，屬于難題．