Question

（1）已知f（x）=2+log₄x（1≤x≤16），求函數g（x）=[f（x）]²+f（x²）的值域．
（2）若直線y=4a與y=|a^x-2|（a＞0且a≠1）的圖象有兩個公共點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數y=[f（x）]²+f（x²）的定義域，然后將函數化成關于log₄x的二次函數，進行配方找出對稱軸，而0≤log₄x≤2，利用對稱軸與區間的位置關系求出最值，即可求出值域．
（2）分別作出直線y=4a與y=|a^x-2|（a＞0且a≠1）的圖象，如圖所示，由數形結合易得結果．

解答：解：（1）由已知得：

g(x)=(2+log4x)2+(2+log4x2) =lo g 2 4 x+6log4x+6

又

1≤x≤16 1≤x2≤16

⇒1≤x≤4，
令log₄x=t，則g（x）=h（t）=t²+6t+6（0≤t≤1）
∵h（t）在[0，1]上為增函數，
∴h（t）_min=h（0）=6，h（t）_max=h（1）=13，
∴g（x）的值域為[6，13]．
（2）直線y=4a與y=|a^x-2|（a＞0且a≠1）的圖象，如圖所示，
直線y=4a與y=|a^x-2|（a＞0且a≠1）的圖象有兩個公共點，
由數形結合易得：0＜a＜

1

2

．

點評：主要考查了帶絕對值的函數、函數的值域．本題以對數函數為載體考查二次函數的值域，屬于求二次函數的最值問題，解題的關鍵是定義域，屬于基本題．