Question

【題目】某避暑山莊擬對一個半徑為1百米的圓形地塊（如圖）進行改造，擬在該地塊上修建一個等腰梯形，其中，，圓心在梯形內部，設.當該游泳池的面積與周長之比最大時為“最佳游泳池”.

（1）求梯形游泳池的面積關于的函數關系式，并指明定義域；

（2）求當該游泳池為“最佳游泳池”時的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）分別取的中點，連接，易知，，，則，.

（2），梯形的周長，設，，求導判斷單調性，求其最大值即可.

（1）如圖，分別取的中點，連接，

由平面幾何得知，，三點共線，且，.

易知，，

且，得

則梯形的面積

（平方百米）， .

（2）易知

由（1）可得梯形的周長（百米）

設，

，由得，

當時，y，單調遞增，當時，y，單調遞減

所以當，該游泳池的面積與周長之比最大.

即：時、該游泳池為“最佳游泳池”.