Question

【題目】如圖所示，A，B，C是雙曲線 =1（a＞0，b＞0）上的三個點，AB經過原點O，AC經過右焦點F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，則該雙曲線的離心率是（ ）

A.
B.
C.
D.3

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由題意可得在直角三角形ABF中，OF為斜邊AB上的中線，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，
設A（m，n），則m2+n2=c2 ，
又 ﹣ =1，
解得m= ，n= ，
即有A（ ， ），B（﹣ ，﹣ ），
又F（c，0），
由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，
可設C（x，y），即有 =﹣1，
又（c+ ）2+（ ）2=（x﹣c）2+y2 ，
可得x= ，y=﹣ ，
將C（ ，﹣ ）代入雙曲線方程，可得
﹣ =1，
化簡可得 （b2﹣a2）=a3 ，
由b2=c2﹣a2 ， e= ，
可得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1，
對照選項，代入檢驗可得e= 成立．
故選：A．