Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）當a=0，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）+lnx在區間[1，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）過點P（1，﹣3）恰好能作函數y=f（x）圖象的兩條切線，并且兩切線的傾斜角互補，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）f（x）的定義域為（0，+∞） ，
當x∈（0，+∞）時，f'（x），f（x）的變化的情況如下：

x
f'（x）	﹣	0	+
f（x）		極小值

∴f（x）的最小值是f（ ）=﹣ ．
（Ⅱ）由題意得：
∵函數g（x）在區間[1，+∞）上為增函數，
∴當x∈[1，+∞）時g'（x）≥0，即 在[1，+∞）上恒成立，
∴ ，
∴ ，
∴ 在[1，+∞）上遞增，
∴﹣（a+1）≤h（1）=1，
∴a≥﹣2
（Ⅲ）設兩切點A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2）），f'（x）=lnx+1+a
則函數y=f（x）在A，B處的切線方程分別為y=（lnx1+1+a）（x﹣x1）+x1lnx1+ax1=（lnx1+1+a）x﹣x1 ，
∴y=（lnx2+1+a）（x﹣x2）+x2lnx2+ax2=（lnx2+1+a）x﹣x2
且lnx1+1+a+lnx2+1+a=0
即 也即
即x1 ， x2是方程t2﹣6t+e﹣2（a+1）=0的兩個正根，
∴△=36﹣4e﹣2（a+1）＞0，
∴a＞﹣1﹣ln3
【解析】（Ⅰ）求導函數，確定函數的單調性，即可求f（x）的最小值；（Ⅱ）函數g（x）在區間[1，+∞）上為增函數，可得當x∈[1，+∞）時g'（x）≥0，即 在[1，+∞）上恒成立，求出左邊的最小值，即可求實數a的取值范圍；（Ⅲ）求出函數y=f（x）在A，B處的切線方程，利用過點P（1，﹣3），兩切線的傾斜角互補，建立方程組，即可求實數a的取值范圍．