Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓： 的離心率是，且直線： 被橢圓截得的弦長為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若直線與圓： 相切：

（i）求圓的標準方程；

（ii）若直線過定點，與橢圓交于不同的兩點、，與圓交于不同的兩點、，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）；（II）（i）;（ii）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由直線過定點， ，可得到，再結合，即可求出橢圓的方程；（Ⅱ）（i）利用圓的幾何性質，求出圓心到直線的距離等于半徑，即可求出的值，即可求出圓的標準方程；（ii）首先設直線的方程為，利用韋達定理即可求出弦長的表達式，同理利用圓的幾何關系可求出弦長的表達式，即可得到的表達式，再用換元法，即可求出的取值范圍.

試題解析：

解：（Ⅰ）由已知得直線過定點， ， ，

又， ，解得， ，

故所求橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得直線的方程為，即，

又圓的標準方程為，

∴圓心為，圓的半徑，

∴圓的標準方程為．

（ii）由題可得直線的斜率存在，

設： ，與橢圓的兩個交點為、，

由消去得，

由，得，

， ，

∴．

又圓的圓心到直線： 的距離，

∴圓截直線所得弦長，

∴，

設， ，

則，

∵的對稱軸為，在上單調遞增， ，

∴，

∴．