Question

【題目】已知函數f （x）= ．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由x2﹣1≠0得：x≠±1，

故函數f （x）= 的定義域為：{x|x≠±1}

（2）解：函數f（x）在（1，+∞）上為減函數，理由如下：

證法一：∵f （x）= ．

∴f′（x）= ．

當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0恒成立，

故函數f（x）在（1，+∞）上為減函數；

證法二：任取a，b∈（1，+∞），且a＜b，

則a2﹣1＞0，b2﹣1＞0，b+a＞0，b﹣a＞0，

則f（a）﹣f（b）= ﹣ = = ＞0，

故f（a）＞f（b），

故函數f（x）在（1，+∞）上為減函數

【解析】（1）解x2﹣1≠0得f（x）的定義域；（2）函數f（x）在（1，+∞）上為減函數
證法一：求導，分析導函數在（1，+∞）上的符號，可得結論；
證法二：任取a，b∈（1，+∞），且a＜b，作差比較f（a）與f（b）的大小，結合單調性的定義，可得結論；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的定義域及其求法的相關知識，掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零，以及對函數單調性的判斷方法的理解，了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較．