Question

已知0＜a＜1，函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t）（t∈R）．
（1）若1是關(guān)于x的方程f（x）-g（x）=0的一個解，求t的值；
（2）當(dāng)t=-1時，解不等式f（x）≤g（x）；
（3）若函數(shù)F（x）=a^f（x）+tx²+2t+1在區(qū)間（-1，2]上有零點，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（1）-g（1）=0，即可求得t的值；
（2）當(dāng)t=-1時，f（x）≤g（x）即log_a（x+1）≤2log_a（2x-1），利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得真數(shù)間的大小關(guān)系，注意對數(shù)函數(shù)的定義域；
（3）分情況討論：當(dāng)F（x）的零點為2時，可得F（2）=0求得t值；當(dāng)F（x）在（-1，2）內(nèi)有零點時，根據(jù)函數(shù)零點判定定理可得不等式，解出即可；

解答：解：（1）f（x）-g（x）=0，即log_a（x+1）-2log_a（2x+t）=0，
∵1是關(guān)于x的方程f（x）-g（x）=0的一個解，
∴l(xiāng)og_a（1+1）-2log_a（2×1+t）=0，即loga

2

(2+t)2

=0，
∴

2

(2+t)2

=1，解得t=-2±

2

；
（2）當(dāng)t=-1時，f（x）≤g（x）即log_a（x+1）≤2log_a（2x-1），
也即log_a（x+1）≤log_a（2x-1）²，
又0＜a＜1，則x+1≥（2x-1）²①，且x+1＞0②，2x-1＞0③，
聯(lián)立①②③，解得

1

2

＜x＜≤

5

4

，
∴不等式f（x）≤g（x）的解集為：（

1

2

，

5

4

]；
（3）F（x）=a^f（x）+tx²+2t+1=alog_a（x+1）+tx²+2t+1=x+1+tx²+2t+1=tx²+x+2t+2，
若x=2是F（x）的零點，則有F（2）=0，即4t+2+2t+2=0，6t+4=0，解得t=-

2

3

；
若F（x）在（-1，2）內(nèi)有零點，則有F（-1）F（2）＜0，即（t-1+2t+2）（4t+2+2t+2）＜0，
整理得（3t+1）（6t+4）＜0，解得-

2

3

＜t＜-

1

3

；
綜上所述，-

2

3

≤t＜-

1

3

，
故要使函數(shù)F（x）=a^f（x）+tx²+2t+1在區(qū)間（-1，2]上有零點，t的取值范圍為：-

2

3

≤t＜-

1

3

．

點評：本題考查函數(shù)零點判定定理、對數(shù)不等式的解法，屬中檔題，解對數(shù)不等式要注意考慮對數(shù)函數(shù)定義域．