Question

設橢圓的焦點在軸上.
（1）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；
（2）設分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上的第一象限內的點，直線交軸與點，并且，證明：當變化時，點在某定直線上.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

試題分析：（1）由橢圓的焦距為，可得，又由，從而可以建立關于的方程，即可解得，因此橢圓的方程為；（2）根據題意，可設，條件中關于的約束只有及在橢圓上，因此需從即為出發點建立，滿足的關系式，由題意可得直線的斜率，直線的斜率，
故直線的方程為，當時，即點的坐標為,
故直線的斜率為，因此，化簡得，又由點在橢圓上，可得，即點在直線上.
試題解析：（1）∵焦距為1，∴，∴，
故橢圓的方程為；
（2）設，其中，由題設知，
則直線的斜率，直線的斜率，
故直線的方程為，當時，即點的坐標為,
∴直線的斜率為，
∵，∴，化簡得
將上式代入橢圓的方程，由于在第一象限，解得，即點在直線上.