Question

（2006•朝陽區三模）已知：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=a，AA₁=2a，D、E分別是側棱BB₁和AC₁的中點．
（Ⅰ）求異面直線AD與A₁C₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）求證：ED⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅲ）求平面ADC₁與平面ABC所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）正三棱柱中AC∥A₁C₁，∠CAD是異面直線AD與A₁C₁所成的角．在△ACD中求解．
（Ⅱ）通過證明ED⊥AC．ED⊥AC₁．證出ED⊥平面ACC₁A₁．（或證ED∥GB，GB⊥平面ACC₁A₁得到ED⊥平面ACC₁A₁．）
（Ⅲ）C₁D，CB共面，則C₁D，CB必相交，設交點為F，連結AF．則平面ADC₁與平面ABC所成二面角是C-AF-C₁．
∠C₁AC是所求二面角的平面角．在△C₁AC中求解．

解答：解：（Ⅰ）∵正三棱柱中AC∥A₁C₁，
∴∠CAD是異面直線AD與A₁C₁所成的角．…（2分）
連結CD，易知AD=CD=

2

a，AC=a，
在△ACD中易求出cos∠CAD=

2

4

．
因此異面直線AD與A₁C₁所成的角的余弦值為

2

4

．…（4分）

（Ⅱ）證明：

∵D是B₁B的中點，
∴△C₁B₁D≌△ABD．
∴AD=C₁D．
于是△ADC₁是等腰三角形．
∵E是AC₁的中點，
∴DE⊥AC₁．…（6分）
設AC的中點為G，
∴EG∥C₁C∥DB，EG=

1

2

C₁C=DB．
∴四邊形EGBD是平行四邊形．
∴ED∥GB．
∵G是AC的中點，且AB=BC，
∴GB⊥AC．
∴ED⊥AC．
∵AC∩AC₁=A，
∴ED⊥平面ACC₁A₁．…（8分）
（或證ED∥GB，GB⊥平面ACC₁A₁得到ED⊥平面ACC₁A₁．）

（Ⅲ）解：∵C₁D，CB共面，
故C₁D，CB必相交，設交點為F，連結AF．
∴平面ADC₁與平面ABC所成二面角是C-AF-C₁．…（10分）
∵DB=

1

2

C₁C，DB∥C₁C，
∴B是CF的中點．
∴AC=CB=BF=a．
在△ACF中，由余弦定理可求出AF=

3

a．
∴易判斷出△ACF是直角三角形，即AC⊥AF．
∵C₁C⊥面ACF，
∴AC₁⊥AF．
∴∠C₁AC是所求二面角的平面角．…（12分）
∵tan∠C₁AC=

C1C

AC

=2，
∴平面ADC₁與平面ABC所成二面角的大小是arctan2（或arccos

5

5

）．…（13分）

點評：本題考查空間直線、平面位置關系的判斷，空間角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力．