【題目】已知函數
，
．
當
時，
，求實數a的取值范圍；
當
時，曲線
和曲線
是否存在公共切線？并說明理由．
【答案】（1）
；（2）存在公共切線，理由詳見解析.
【解析】
(1)構造函數
，求出其最大值，解不等式即可得到實數
的取值范圍；
(2)假設存在這樣的直線
且直線
與曲線和曲線
分別相切與點
.分別求出兩條切線方程，根據斜率與縱截距建立方程組，減元后得到
，構造新函數研究單調性與極值即可.
解：
令
，則
.
若
，則
，若
，則
.
所以
在
上是增函數，在
上是減函數.
所以
是的極大值點，也是的最大值點，即
.
若
恒成立，則只需
，解得
.
所以實數的取值范圍是.
假設存在這樣的直線且與曲線和曲線分別相切與點.
由
，得
.
曲線在點
處的切線方程為
，即
.
同理可得，
曲線在點
處的切線方程為
，即
.
所以
則
，即
構造函數
存在直線與曲線和曲線相切,
等價于函數
在
上有零點
對于
.
當
時，
，
在上單調遞增.
當
時，因為
，所以
在
上是減函數.
又
，，所以存在
，使得
，即
.
且當
，時，當
時，
.
綜上，
在
上是增函數，在
上是減函數.
所以
是的極大值，也是最大值，且
.
又
，
，所以在
內和
內各有一個零點.
故假設成立，即曲線和曲線存在公共切線.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某機構組織語文、數學學科能力競賽，按照一定比例淘汰后，頒發一二三等獎.現有某考場的兩科考試成績數據統計如下圖所示，其中數學科目成績為二等獎的考生有
人.
（Ⅰ）求該考場考生中語文成績為一等獎的人數；
（Ⅱ）用隨機抽樣的方法從獲得數學和語文二等獎的學生中各抽取
人，進行綜合素質測試，將他們的綜合得分繪成莖葉圖，求樣本的平均數及方差并進行比較分析；
（Ⅲ）已知本考場的所有考生中，恰有
人兩科成績均為一等獎，在至少一科成績為一等獎的考生中，隨機抽取
人進行訪談，求兩人兩科成績均為一等獎的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以下說法錯誤的是（ ）
A.復數
滿足
，則復數在復平面上對應的點的軌跡為直線.
B.
為
上連續可導的函數，若
，則
為極值點.
C.若
，
，
，則
.
D.
為拋物線
的兩點，
為坐標原點，若
，則直線
過定點
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某品種一批樹苗生長情況，在該批樹苗中隨機抽取了容量為
的樣本，測量樹苗高度（單位：
），經統計，其高度均在區間
內，將其按
，
，
，
，
，
分成
組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．其中高度為27cm及以上的樹苗為優質樹苗．
（1）求圖中
的值；
（2）已知所抽取這棵樹苗來自于
兩個試驗區，部分數據如下列聯表：將列聯表補充完整，并判斷是否有
的把握認為優質樹苗與兩個試驗區有關系，并說明理由；
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參考公式：
，其中
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行，科學規劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設一個起點站，為了研究車輛發車間隔時間x與乘客等候人數y之間的關系，經過調查得到如下數據：
調查小組先從這6組數據中選取4組數據求線性回歸方程，再用剩下的2組數據進行檢驗．檢驗方法如下：先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應的等候人數
，再求與實際等候人數y的差，若差值的絕對值不超過1，則稱所求方程是“恰當回歸方程”．
（1）若選取的是后面4組數據，求y關于x的線性回歸方程
，并判斷此方程是否是“恰當回歸方程”；
（2）為了使等候的乘客不超過35人，試用（1）中方程估計間隔時間最多可以設置為多少（精確到整數）分鐘？
附：對于一組數據（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖所示的數陣中每一行從左到右均是首項為1，項數為n的等差數列，設第
行的等差數列中的第k項為
2，3，
，
，公差為
，若
，
，且
，
，
，，
也成等差數列．
Ⅰ
求；
Ⅱ求
關于m的表達式；
Ⅲ若數陣中第i行所有數之和
，第j列所有數之和為
，是否存在i，j滿足
，使得
成立？若存在，請求出i，j的一組值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（2014·長春模擬)對甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進行了6次測試,測得他們的最大速度(m/s)的數據如下表：
甲 | 27 | 38 | 30 | 37 | 35 | 31 |
乙 | 33 | 29 | 38 | 34 | 28 | 36 |
(1)畫出莖葉圖.
(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(m/s)數據的平均數、方差,并判斷選誰參加比賽更合適?
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