Question

甲、乙兩名教師進行乒乓球比賽,采用七局四勝制(先勝四局者獲勝).若每一局比賽甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,現已賽完兩局,乙暫時以2∶0領先.
(1)求甲獲得這次比賽勝利的概率；
(2)設比賽結束時比賽的局數為隨機變量X，求隨機變量X的概率分布和數學期望EX.

Answer 1

(1) 甲獲得這次比賽勝利的概率為；(2) X的概率分布為：

X	4	5	6	7
P	?	?	?	?

．

解析試題分析：（1）甲獲得這次比賽勝利情況有二，一是比賽六局結束，甲連續贏了四局，一是比賽了七局，甲在后五局中贏了四局，且最后一局是甲贏，顯然這兩種情況彼此互斥，故分別計算出這兩個事件的概率，求其和即得甲獲得這次比賽勝利的概率．（2）設比賽結束時比賽的局數為，由題意得隨機變量可能的取值為4,5,6,7，分別求出隨機變量的概率，從而得分布列和數學期望．本題考查次獨立重復試驗中恰好發生次的概率，解題的關鍵是正確理解兩個事件、“甲獲得這次比賽勝利”，再由概率的計算公式計算出概率．本題是概率中的有一定綜合性的題，對事件正確理解與分類是很關鍵．
試題解析：(1)設甲獲勝為事件A,則甲獲勝包括甲以4∶2獲勝和甲以4∶3獲勝兩種情況.
設甲以4∶2獲勝為事件A₁,則      2分
設甲以4∶3獲勝為事件A₂,則   5分
P(A)=.         6分
(2)隨機變量可能的取值為4,5,6,7,
=.
.
.
.
X的概率分布為：

X	4	5	6	7
P	?	?	?	?

       12分
考點：離散型隨機變量及其分布列；相互獨立事件的概率乘法公式；離散型隨機變量的期望與方差．