Question

【題目】已知數列各項均為正數，為其前項的和，且成等差數列.

（1）寫出、、的值，并猜想數列的通項公式；

（2）證明（1）中的猜想；

（3）設，為數列的前項和.若對于任意，都有，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）代入，求出，，，猜想出即可；

（2）利用等差數列的定義證明即可；

（3）由（2）知，，因為，都是整數，所以對于任意，都是整數，進而是整數，所以，，此時，因為的任意性，不妨設，求出即可．

（1）解：由已知，

所以，，，

猜想

證明（2）當時，，

所以

得，

因為，所以

數列為等差數列，又由（1），

所以

（3）解由（2）知，.

若，則，

因為，都是整數，所以對于任意，都是整數，進而是整數

所以，，此時，

設，則，所以或2

①當時，對于任意，

②當時，對于任意，

所以實數取值的集合為