Question

【題目】如圖1，在等腰梯形ABCD中，，，，E為AD的中點.現分別沿BE，EC將△ABE 和△ECD折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面ECD⊥平面BCE，連接AD，如圖2.

（1）若在平面BCE內存在點G，使得GD∥平面ABE，請問點G的軌跡是什么圖形？并說明理由.

（2）求平面AED與平面BCE所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)點G的軌跡是直線MN，見解析；(2)

【解析】

（1）分別取和的中點和，連接，，，根據線線平行可證明平面平面,則可判斷點的軌跡；（2）以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，分別求兩個平面的法向量，代入公式求解.

（1）點G的軌跡是直線MN.

理由：如圖，分別取BC和CE的中點N和M，連接DM，MN，ND，則MN//BE.

又MN平面BEA，BE平面BEA，所以MN//平面BEA.

依題意有△ABE，△BCE，△ECD均為邊長為2的正三角形，所以MD⊥CE.

又平面ECD⊥平面BCE，則MD⊥平面BCE.又平面ABE⊥平面BCE，所以MD//平面BEA.

所以平面NMD//平面BEA，則點G的軌跡是直線MN.

（2）如圖，以點M為坐標原點，MB所在直線為x軸，MC所在直線為y軸，MD所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，則E（0，-1，0），D（0，0，），A，所以，.

設平面AED的法向量為，則

取，得. 取平面BCE的一個法向量為，

則， 所以平面AED與平面BCE所成銳二面角的余弦值為.