Question

【題目】已知a R， a0，函數 f (x) eax1 ax ，其中常數e .

（1）求 f (x) 的最小值；

（2）當a ≥1時，求證:對任意 x0 ，都有 xf (x) ≥ 2ln x 1 ax2.

Answer 1

【答案】(1)0；(2)證明見詳解.

【解析】

（1）求導，對函數的單調性進行討論，從而求得最小值；

（2）將不等式恒成問題，進行轉換，結合（1）中的結論，構造新的函數，將問題轉換為最值的問題即可.

（1）因為，則，

故為R上的增函數，令，解得

故當，單調遞減；

當，單調遞增，

則

故函數的最小值為0.

（2）證明：要證明xf (x) ≥ 2ln x 1

等價于證明

由（1）可知：，即

因為，故

故等價于證明

即

令，即證恒成立.

又

令，解得

故當，單調遞減；

當，單調遞增；

故

有因為，故

故即證.

即對任意 x0 ，都有 xf (x) ≥ 2ln x 1 ax2.