Question

（）（本小題滿分12分）如圖，已知平面平行于三棱錐的底面，等邊三角形所在平面與面垂直，且，設。

（Ⅰ）證明：為異面直線與的公垂線；

（Ⅱ）求點與平面的距離；

（Ⅲ）求二面角的大小。

Answer 1

(Ⅰ) 略   (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

法一：

（Ⅰ）證明：∵平面∥平面

∴∥∵∴

又∵平面平面，平面平面

∴平面∴

又∵

∴為與的公垂線。

（Ⅱ）過作于，

∵為正三角形，

∴為中點，

∵平面

∴

又∵

∴平面

∴線段的長即為到平面的距離

在等邊三角形中，

∴點到平面的距離為。

（Ⅲ）過作于，連結

由三垂線定理知

∴是二面角的平面角

在中，，～，

∴，∴

所以，二面角的大小為。

法二：取中點，連結，易知平面，

過作直線∥交于

取為空間直角坐標系的原點，、、所在直線分別為如圖建立空間直角坐標系，則

（Ⅰ）

∴

∴，∴，

又∵∥，由已知，∥

∴，

即為與的公垂線。

（Ⅱ）設是平面的一個法向量，又，

則，即，令，則

∴設所求距離為，

∴點到平面的距離為。

（Ⅲ）設平面的一個法向量為，又

則則令，則

即，設二面角為，

又二面角為銳角

二面角的大小為。