Question

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC＝2，BC⊥DC，∠BAD＝60°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點，△PAD為正三角形，M是棱PC上的一點(異于端點)．

(1)若M為PC的中點，求證：PA∥平面BME；

(2)是否存在點M，使二面角MBED的大小為30°.若存在，求出點M的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）連接AC交BE于點F，根據平幾知識可得ABCE為平行四邊形，即得MF∥PA. 再根據線面平行判定定理得結論（2）先根據空間直角坐標系，再設立各點坐標，根據方程組解得平面法向量，根據向量數量積求向量夾角，最后根據二面角與向量夾角相等或互補關系列方程解得M坐標，即得點M的位置．

試題解析：(1)證明：如圖，連接AC交BE于點F，連接CE.

由題意知BC∥AE，且BC＝AE，故四邊形ABCE為平行四邊形，∴F為AC的中點，在△PAC中，又由M為PC的中點，得MF∥PA.

又MF平面BME，PA平面BME，∴PA∥平面BME.

(2)連接PE，則由題意知PE⊥平面ABCD.

故以E為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系E－xyz，則

E(0,0,0)，P(0,0，)，

B(，0,0)，C(，－1,0)．

設＝λ＝(0<λ<1)，

則M(λ，－λ， (1－λ))．

∴＝(λ，－λ， (1－λ))，＝(，0,0)．

取平面DBE的法向量n1＝(0,0,1)，設平面BME的法向量n2＝(x，y，z)，

則由

得令y＝，得n2＝.

又由＝cos30°，得λ＝，

即M.故存在點M滿足要求，且M為棱PC上靠近端點C的四等分點．