Question

下列說法：
①“?x∈R，2^x＞3“的否定是“?x∈R，2^x≤3”．
②函數y=sin（2x+

π

4

）sin（

π

4

-2x）的最小正周期為π．
③命題“函數f（x）在x=x₀處有極值則f′（x）=0”的否命題是真命題．
④f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，當x＞0時的解析式是f（x）=2^x，則當x＜0時的解析式是f（x）=-2^-x．
其中正確的說法是

 

．（填序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①利用命題的否定定義可知正確．
②利用誘導公式和倍角公式可得：函數y=

1

2

sin(4x+

π

2

)=

1

2

cos4x，其最小正周期為

π

2

．
③命題“函數f（x）在x=x₀處有極值則f′（x）=0”的否命題是“函數f（x）在x=x₀處沒有極值則f′（x）≠0”，利用f′（x）=0函數f（x）在x=x₀處有極值的必要非充分條件即可判斷出．
④設x＜0時，-x＞0，則f（x）=-f（-x）=-2^-x，即可判斷出．

解答： 解：①“?x∈R，2^x＞3“的否定是“?x∈R，2^x≤3”，利用命題的否定定義可知正確．
②函數y=sin（2x+

π

4

）sin（

π

4

-2x）=

1

2

sin(4x+

π

2

)=

1

2

cos4x，其最小正周期為

π

2

，因此不正確．
③命題“函數f（x）在x=x₀處有極值則f′（x）=0“的否命題是“函數f（x）在x=x₀處沒有極值則f′（x）≠0”是假命題．
④f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，當x＞0時的解析式是f（x）=2^x，則當x＜0時，-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=-2^-x，因此x＜0的解析式是
f（x）=-2^-x，正確．
其中正確的說法是①④．
故答案為：①④．

點評：本題考查了命題的否定、否命題、函數在一點取得極值的條件、函數的奇偶性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．