Question

【題目】設函數f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．

（1）解不等式f（x）≥4．

（2）若f（x）+f（y）≤6，求x+y的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）[﹣2，4]．

【解析】

（1）分類討論去絕對值，轉化解一元一次不等式組；

（2）根據絕對值不等式的性質，求出f（x）+f（y）的最小值，結合已知可求出f（x）+f（y）的值，進而求出結論.

（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．

∵f（x）≥4，∴或，

∴或，

∴不等式的解集為；

（2）f（x）+f（y）＝|x﹣2|+|x+1|+|y﹣2|+|y+1|

≥|x+y﹣4|+|x+y+2|≥|（x+y﹣4）﹣（x+y+2）|＝6，

當且僅當（x+y﹣4）（x+y+2）≤0，即﹣2≤x+y≤4時取等號，

∵f（x）+f（y）≤6，∴|x+y﹣4|+|x+y+2|≤6，

∴|x+y﹣4|+|x+y+2|＝6，∴﹣2≤x+y≤4，

∴x+y的取值范圍為[﹣2，4]．