Question

【題目】已知函數f（x）= （b∈R）．若存在x∈[ ，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，則實數 b的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞， ）
B.（﹣∞， ）
C.（﹣∞，3）
D.（﹣∞， ）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵f（x）=f（x）= ，x＞0， ∴f′（x）= ，
∴f（x）+xf′（x）= + = ，
∵存在x∈[ ，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
∴1+2x（x﹣b）＞0
∴b＜x+ ，
設g（x）=x+ ，
∴b＜g（x）max ，
∴g′（x）=1﹣ = ，
當g′（x）=0時，解的x= ，
當g′（x）＞0時，即 ＜x≤2時，函數單調遞增，
當g′（x）＜0時，即 ≤x＜2時，函數單調遞減，
∴當x=2時，函數g（x）取最大值，最大值為g（2）=2+ =
∴b＜ ，
故選：B．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用基本求導法則的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導．