Question

如圖所示，已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標原點，且與以點A(，0)為圓心、1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個頂點與點A關于直線y＝x對稱．設直線l過點A，斜率為k． (1) 求雙曲線S的方程 (2) 當k＝1時，在雙曲線S的上支上求點B，使其與直線l的距離為 (3) 當0≤k＜1時，若雙曲線S的上支上有且只有一個點B到直線l的距離為，求斜率k的值及相應的點B的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：由已知可得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，(0，)． 　　雙曲線S的方程為－＝1．
(2)	設B(x，)是雙曲線S上到直線l：y＝x－的距離為的點，由點到直線距離公式有＝． 　　解得x＝，y＝2，即B(，2)．
(3)	當0≤k＜1時，雙曲線S的上支在直線l的上方，所以點B在直線l的上方．設直線與直線l：y＝k(x－)平行，兩線間的距離為，且直線在直線l的上方．雙曲線S的上支上有且僅有一個點B到直線l的距離為，等價于直線與雙曲線S的上支有且只有一個公共點． 　　設的方程為y＝kx＋m， 　　由l上的點A到的距離為，可知＝，解得m＝(±－k)． 　　因為直線在直線l的上方，所以m＝(－k)． 　　由方程組 　　消去y，得(k2－1)x2＋2mkx＋m2－2＝0， 　因為k2≠1，所以 　　　△＝4m2k2－4(k2－1)(m2－2) 　　　　＝4(－2＋2k2) 　　　�。�8k(3k－2)． 　　令△＝0，由0≤k＜1，解得k＝0，k＝． 　　當k＝0時，m＝，解得x＝0，y＝． 　　此時點B的坐標為(0，)； 　　當k＝時，m＝，解得x＝2，y＝．此時點B的坐標為(2，)．