Question

【題目】選修4-5：不等式選講

已知不等式的對任意實數恒成立．

（Ⅰ）求實數的最小值；

（Ⅱ）若，且滿足，求證：．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ）不等式等價于．……………1分

令，則不等式的對任意實數恒成立等價于．………………2分

而作出函數的圖象，由圖可知，函數的最小值為，所以，即，故．……………5分

（II）由（I）知，其中，所以，，，

所以原不等式等價于 ．……………6分

下面證明不等式：

因為，（當且僅當時取等號）

， （當且僅當時取等號）

．（當且僅當時取等號）……………8分

三式相加得：，（當且僅當時取等號）

……………9分

所以，即．………10分

【命題意圖】本題考查含有絕對值不等式的不等式恒成立問題、不等式的證明、函數圖象的應用，意在考查推理論證能力、運算求解能力．