Question

【題目】如圖所示，在梯形BCDE中，BC∥DE，BA⊥DE，且EA=DA=AB=2CB=2，沿AB將四邊形ABCD折起，使得平面ABCD與平面ABE垂直，M為CE的中點．
（1）求證：AM⊥BE；
（2）求三棱錐C﹣BED的體積．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵平面ABCD⊥平面ABE，由已知條件可知，DA⊥AB，AB⊥BC，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴DA⊥平面ABE，CB⊥平面ABE．
取EB的中點N，連接AN、MN，
在△ABE中，∵AE=AB，N為EB的中點，
∴AN⊥BE．在△EBC中，
∵EM=MC，EN=NB，∴MN∥BC，
又∵CB⊥平面ABE，
∴MN⊥平面ABE，∴MN⊥BE．
又∵AN∩MN=N，∴BE⊥平面AMN，
又∵AM平面AMN，∴AM⊥BE…（6分）
（2）解：∵平面ABCD⊥平面ABE，AE⊥AB，平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴AE⊥平面ABCD，即AE⊥平面BCD．
又∵S△BCD=×BC×BA=×1×2=1，
∴三棱錐C﹣BED的體積=VE﹣BCD=×S△BCD×EA=×1×2=

【解析】（1）取EB的中點N，連接AN、MN，證明DA⊥平面ABE，CB⊥平面ABE，MN∥BC，利用CB⊥平面ABE，可得MN⊥平面ABE，進而證明BE⊥平面AMN，即可證明AM⊥BE；
（2）證明AE⊥平面BCD，利用三棱錐C﹣BED的體積=VE﹣BCD=×S△BCD×EA，即可求三棱錐C﹣BED的體積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．