Question

【題目】如圖所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，點M是棱BB1上一點．
（1）求證：B1D1∥面A1BD；
（2）求證：MD⊥AC；
（3）試確定點M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1=DD1 ， 所以BB1D1D是平行四邊形，
所以B1D1∥BD．
而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，
所以B1D1∥平面A1BD．
（2）證明：因為BB1⊥面ABCD，AC面ABCD，所以BB1⊥AC，
又因為BD⊥AC，且BD∩BB1=B，
所以AC⊥面BB1D，
而MD面BB1D，所以MD⊥AC．
（3）當點M為棱BB1的中點時，平面DMC1⊥平面CC1D1D
取DC的中點N，D1C1的中點N1 ， 連接NN1交DC1于O，連接OM．
因為N是DC中點，BD=BC，所以BN⊥DC；又因為DC是面ABCD與面DCC1D1的交線，而面ABCD⊥面DCC1D1 ，
所以BN⊥面DCC1D1 ．
又可證得，O是NN1的中點，所以BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四邊形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因為OM面DMC1 ， 所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．

【解析】（1）在平面A1BD內找到和B1D1平行的直線BD即可．利用線線平行來推線面平行．
（2）先利用條件BB1⊥AC和BD⊥AC證得AC⊥面BB1D，再證明MD⊥AC即可．
（3）因為棱BB1上最特殊的點是中點，所以先看中點．取DC的中點N，D1C1的中點N1 ， 連接NN1交DC1于O，BN⊥DC面ABCD⊥面DCC1D1 ，
BN⊥面DCC1D1 ． 而又可證得BN∥OM，所以可得OM⊥平面CC1D1D平面DMC1⊥平面CC1D1D．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的判定和平面與平面垂直的判定，需要了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．