Question

【題目】已知圓： 和點，動圓經過點且與圓相切，圓心的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）點是曲線與軸正半軸的交點，點， 在曲線上，若直線， 的斜率分別是， ，滿足，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）分析條件可得圓心滿足條件>，從而可得曲線E是M，N為焦點，長軸長為的橢圓，可得橢圓的方程；（2）設直線的方程為，代入橢圓方程消去x整理得到關于y的方程，進一步可得

，由可求得，從而，從而

可得 ，從而可得三角形面積的最大值。

試題解析：

（1）由題意得圓的圓心為，半徑為，

點在圓內，因為動圓經過點且與圓相切，所以動圓與圓內切。

設動圓半徑為，則 .

因為動圓經過點，所以, >,

所以曲線E是M，N為焦點，長軸長為的橢圓.

設橢圓的方程為

則，

∴,

∴曲線的方程為．

（2）當直線的斜率為0時，不合題意；

設直線的方程為，

由消去x整理得，

設，

則，

由條件得點A坐標為（1,0），

∵，

∴

=.且，

∴，

解得，

故直線BC過定點（2，0），

由，解得，

∴ ，當且僅當時取等號。

綜上面積的最大值為.