Question

若有窮數列a₁，a₂，…，a_n（n是正整數），滿足a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁即a_i=a_n-i+1（i是正整數，且1≤i≤n），就稱該數列為“對稱數列”。
（1）已知數列{b_n}是項數為7的對稱數列，且b₁，b₂，b₃，b₄成等差數列，b₁=2，b₄=11，試寫出{b_n}的每一項；
（2）已知{c_n}是項數為2k-1（k≥1）的對稱數列，且c_k，c_k+1，…，c_2k-1構成首項為50，公差為-4的等差數列，數列{c_n}的前2k-1項和為S_2k-1，則當k為何值時，S_2k-1取到最大值？最大值為多少？
（3）對于給定的正整數m＞1，試寫出所有項數不超過2m的對稱數列，使得1，2，2²，…，2^m-1成為數列中的連續項；當m＞1500時，試求其中一個數列的前2008項和S₂₀₀₈。

Answer 1

解：（1）設{b_n}的公差為d，
則，解得d=3，
∴數列{b_n}為；
（2），
，
∴當k=13時，取得最大值，的最大值為626。
（3）所有可能的“對稱數列”是：
①；
②；
③；
④，
對于①，當m≥2008時，；
當1500＜m≤2007時，
；
對于②，當m≥2008時，；
當1500＜m≤2007時，；
對于③，當m≥2008時，；
當1500＜m≤2007時，；
對于④，當m≥2008時，；
當1500＜m≤2007時，。