Question

20、若有窮數列a₁，a₂…a_n（n是正整數），滿足a₁=a_n，a₂=a_n-1…a_n=a₁即a_i=a_n-i+1
（i是正整數，且1≤i≤n），就稱該數列為“對稱數列”．
（1）已知數列{b_n}是項數為7的對稱數列，且b₁，b₂，b₃，b₄成等差數列，b₁=2，b₄=11，試寫出{b_n}的每一項
（2）已知{c_n}是項數為2k-1（k≥1）的對稱數列，且c_k，c_k+1…c_2k-1構成首項為50，公差為-4的等差數列，數列{c_n}的前2k-1項和為S_2k-1，則當k為何值時，S_2k-1取到最大值？最大值為多少？
（3）對于給定的正整數m＞1，試寫出所有項數不超過2m的對稱數列，使得1，2，2²…2^m-1成為數列中的連續項；當m＞1500時，試求其中一個數列的前2008項和S₂₀₀₈

Answer 1

分析：（1）設{b_n}的公差為d，由b₁，b₂，b₃，b₄成等差數列求解d從而求得數列{b_n}，
（2）先得到S_2k-1=-4（k-13）²+4×13²-50，用二次函數求解，
（3）按照1，2，2²…2^m-1是數列中的連續項按照定義，用組合的方式寫出來所有可能的數列，再按其數列的規律求前n項和取符合條件的一組即可．

解答：解：（1）設{b_n}的公差為d，則b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得d=3，∴?數列{b_n}為2，5，8，11，8，5，2．
（2）S_2k-1=c₁+c₂++c_k-1+c_k+c_k+1++c_2k-1=2（c_k+c_k+1++c_2k-1）-c_k，
S_2k-1=-4（k-13）²+4×13²-50，
∴?當k=13時，S_2k-1取得最大值．S_2k-1的最大值為626．
（3）所有可能的“對稱數列”是：
①1，2，2²，，2^m-2，2^m-1，2^m-2，，2²，2，1；
②1，2，2²，，2^m-2，2^m-1，2^m-1，2^m-2，，2²，2，1；
③2^m-1，2^m-2，，2²，2，1，2，2²，，2^m-2，2^m-1；
④2^m-1，2^m-2，，2²，2，1，1，2，2²，，2^m-2，2^m-1．
對于①，當m≥2008時，S₂₀₀₈=1+2+2²++2²⁰⁰⁷=2²⁰⁰⁸-1．
當1500＜m≤2007時，S₂₀₀₈=1+2++2^m-2+2^m-1+2^m-2++2^2m-2009=2^m-1+2^m-1-2^2m-2009=2^m+2^m-1-2^2m-2009-1．
對于②，當m≥2008時，S₂₀₀₈=2²⁰⁰⁸-1．
當1500＜m≤2007時，S₂₀₀₈=2^m+1-2^2m-2008-1．
對于③，當m≥2008時，S₂₀₀₈=2^m-2^m-2008．
當1500＜m≤2007時，S₂₀₀₈=2^m+2^2009-m-3．
對于④，當m≥2008時，S₂₀₀₈=2^m-2^m-2008．
當1500＜m≤2007時，S₂₀₀₈=2^m+2^2008-m-2．

點評：本題一道新定義題，這樣的題做法是嚴格按照定義要求，將其轉化為已知的知識和方法去解決，本題涉及到等差數列的通項公式，等比數列求和，構造數列等知識．