Question

若有窮數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_n（n是正整數(shù)），滿足a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁即a_i=a_n-i+1（i是正整數(shù)，且1≤i≤n），就稱該數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”．例如：數(shù)列1，2，3，3，2，1和數(shù)列1，2，3，4，3，2，1都為“對(duì)稱數(shù)列”．已知數(shù)列{b_n}是項(xiàng)數(shù)不超過(guò)2m（m＞1，m∈N*）的對(duì)稱數(shù)列，使得1，2，2²…2^m-1成為數(shù)列中連續(xù)的前m項(xiàng)，則數(shù)列{b_n}的前2013項(xiàng)和S₂₀₁₃所有可能的取值的序號(hào)為（　　）
①2²⁰¹³-1
②2（2²⁰¹³-1）
③2^m+1-2^2m-2013-1
④3•2^m-1-2^2m-2014-1．

A．①③

B．②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：由新定義的對(duì)稱數(shù)列，和已知數(shù)列b_n是項(xiàng)數(shù)為不超過(guò)2m（m＞1，m∈N^*）的“對(duì)稱數(shù)列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數(shù)列中前連續(xù)的m項(xiàng)，故數(shù)列{b_n}的前2013項(xiàng)和需分情況討論，然后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和定義直接可求得，從而判斷①②的正確與否；對(duì)于③④，先從等比數(shù)列的求和公式求出任意2m項(xiàng)的和，然后利用減法得到需要的前2013項(xiàng)的和，即可判斷．

解答：解：因?yàn)閿?shù)列b_n是項(xiàng)數(shù)為不超過(guò)2m（m＞1，m∈N^*）的“對(duì)稱數(shù)列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數(shù)列中前連續(xù)的m項(xiàng)，
所以分?jǐn)?shù)列的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)和奇數(shù)討論．
若數(shù)列含偶數(shù)項(xiàng)，則數(shù)列可設(shè)為1，2¹，2²，…，2^m-1，2^m-1，…，2²，2¹，1
當(dāng)m-1≥2012時(shí)，S₂₀₁₃=

1×(1-22013)

1-2

=2²⁰¹³-1，所以①正確；
當(dāng)1006≤m-1＜2012時(shí)，S₂₀₁₃=2

1×(1-2m)

1-2

-

1×(1-22m-2013)

1-2

=2^m+1-2^2m-2013-1，所以③正確；
若數(shù)列含奇數(shù)項(xiàng)，則數(shù)列可設(shè)為可設(shè)為1，2¹，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2…，2²，2¹，1
當(dāng)m-1≥2012時(shí)，S₂₀₁₃=2²⁰¹³-1≠2（2²⁰¹³-1），故②錯(cuò)誤；
當(dāng)1006≤m-1＜2012時(shí)，所以S₂₀₁₃=2

1×(1-2m-1)

1-2

-

1×(1-22m-1-2013)

1-2

+2^m-1=3•2^m-1-2^2m-2014-1，所以④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生對(duì)于新題意，新定義的理解，以及等比數(shù)列的求和公式及學(xué)生的計(jì)算能力，屬中檔題．