Question

設點C在線段AB上（端點除外），若C分AB的比λ=

AC

CB

，則得分點C的坐標公式

xC= xA+λxB 1+λ yC= yA+λyB 1+λ

．如圖所示，對于函數f（x）=x²（x＞0）上任意兩點A（a，a²），B（b，b²），線段AB必在弧AB上方．由圖象中的點C在點C′正上方，有不等式

a2+λb2

1+λ

＞（

a+λb

1+λ

）²成立．對于函數y=lnx的圖象上任意兩點A（a，lna），B（b，lnb），類比上述不等式可以得到的不等式是

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：探究型,推理和證明

分析：根據函數f（x）=x²（x＞0）的圖象可知，此函數的圖象是向下凹的，即可得到不等式

a2+λb2

1+λ

＞（

a+λb

1+λ

）²，再根據對數函數的圖象的特征，即可類比得到相應的不等式．

解答： 解：∵函數f（x）=x²（x＞0）上任意兩點A（a，a²）、B（b，b²），線段AB在弧線段AB的上方，
設C分AB的比λ=

AC

CB

，則得分點C的坐標公式

xC= xA+λxB 1+λ yC= yA+λyB 1+λ

，
由圖象中點C在點C'上方可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞（

a+λb

1+λ

）²成立．
據此我們從圖象可以看出：
函數f（x）=x²（x＞0）的圖象是向下凹的，
類比對數函數可知，對數函數的圖象是向上凸的，
分析函數y=lnx（x＞0）的圖象，類比上述不等式，可以得到的不等式是

lna+λlnb

1+λ

＜ln

a+λb

1+λ

．
故答案為：

lna+λlnb

1+λ

＜ln

a+λb

1+λ

．

點評：本題主要考查類比推理的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握對數函數圖象的凸凹性，本題比較簡單．