Question

為了對(duì)某校高三（1）班9月調(diào)考成績(jī)進(jìn)行分析，在全班同學(xué)中隨機(jī)抽出5位，他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)（已折算為百分制）從小到大排列為75、80、85、90、95，物理分?jǐn)?shù)從小到大排列為 73、77、80、87、88．
（I）求這5位同學(xué)中恰有2位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)都不小于85分的概率；
（II）若這5位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)分?jǐn)?shù)事實(shí)上對(duì)應(yīng)如下表：
從散點(diǎn)圖分析，y與x，z與x之間都有較好的線性相關(guān)關(guān)系，分別求y與x，z與x的線性回歸方程，并用相關(guān)指數(shù)比較所求回歸模型的擬合效果．
參考數(shù)據(jù)：

.

x

=85，

.

y

=81，

.

z

=86，

5

i=1

(xi-

.

x

)²=250，

5

i=1

(yi-

.

y

) 2=166，

5

i=1

(zi-

.

z

) 2=100，

5

i=1

 (xi-

.

x

)(yi-

.

y

)  =200，

5

i=1

 (xi-

.

x

)(zi-

.

z

)  =150．

Answer 1

分析：（I）先則需要先從數(shù)學(xué)的3個(gè)不小于85分?jǐn)?shù)中選出2個(gè)與2個(gè)物理不小于85分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的種數(shù)，然后將剩下的3個(gè)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)和物理分?jǐn)?shù)任意對(duì)應(yīng)的種數(shù)，最后根據(jù)乘法原理問(wèn)題得解；
（II）根據(jù)最小二乘法計(jì)算可得回歸方程

y

=b

x

+a中的b和a，回歸直線方程即得，通過(guò)相關(guān)指數(shù)R²的計(jì)算可以得到回歸方程的擬合程度．

解答：解：（I）這5位同學(xué)中恰有2位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為不小于85分，
則需要先從數(shù)學(xué)的3個(gè)不小于85分?jǐn)?shù)中選出2個(gè)與2個(gè)物理不小于85分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)，
種數(shù)是C₃²A₂²（或A₃²），然后將剩下的3個(gè)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)和物理分?jǐn)?shù)任意對(duì)應(yīng)，種數(shù)是A₃³．
據(jù)乘法原理，滿(mǎn)足條件的種數(shù)是C₃²A₂²A₃³． （2分）
這5位同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)和數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分別對(duì)應(yīng)的種數(shù)共有A₅⁵． （5分）
故所求的概率P=

C 2 3 A 2 2 A 3 3

A 5 5

=

3

10

． （4分）
（II）設(shè)y與x、z與x的線性回歸方程分別是

?

y

=bx+a、

?

z

=b′x+a′．
根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出b=

200

250

=0.8，a=81-0.8×85=13，b′=

150

250

=0.6，a′=86-0.6×85=35．（8分）
所以y與x和z與x的回歸方程分別是

?

y

=0.6x+13、

?

z

=0.6x+35．（11分）
∴

5

i=1

（yi-

y

i）²=0²+0²+（-1）²+2²+（-1）²=6，
∴

5

i=1

（zi-

z

i）²=（-2）²+2²+1²+0²+（-1）²=10，
又y與x、z與x的相關(guān)指數(shù)是R2=1-

6

166

≈0.964、R′2=1-

10

100

≈0.90． （11分）
故回歸模型

?

y

=0.6x+13比回歸模型

?

z

=0.6x+35的擬合的效果好．（12分）]

點(diǎn)評(píng)：本題考查組合及運(yùn)算、概率、相關(guān)系數(shù)的運(yùn)算、回歸直線方程的求法和回歸模型的擬合效果判斷等多方面知識(shí)和方法．本題綜合性強(qiáng)，所用知識(shí)、方法眾多，將回歸分析的相關(guān)知識(shí)的考查發(fā)揮到了極致，盡管已知中提供了大量的數(shù)據(jù)，但計(jì)算量仍然很大，如相關(guān)系數(shù)、相關(guān)指數(shù)的計(jì)算、最小二乘法的使用等等，這會(huì)使計(jì)算過(guò)程容易出錯(cuò)；就本題的題意而言，思路清晰、方向明確，找到解題的途徑并不難．