Question

【題目】已知、是橢圓（）的左、右焦點，過作軸的垂線與交于、

兩點， 與軸交于點， ，且， 為坐標原點.

（1）求的方程；

（2）設為橢圓上任一異于頂點的點， 、為的上、下頂點，直線、分別交軸于點、.若直線與過點、的圓切于點.試問： 是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由題可得為正三角形，由此求得，又，可求得， .，得到橢圓的方程；

2）由（1）可知， ，

設點，表示出的坐標，設圓 的圓心為，設圓的半徑為，通過點在圓上，推出．然后求出的表達式，利用，化簡即可求出的值

試題解析：（1）由知點是線段的中點，又為等腰三角形

且，得為正三角形，

，

∴， ，

∴.

∵，且

∴， .

橢圓的方程為.

（2）設，由（1）知， ，

則直線的方程為.

直線的方程為，

∴， ，

設過的圓的圓心為

即，則的半徑滿足；

又

∴

∴，即為定長.