Question

【題目】如圖，已知橢圓＝1(a>b>0)，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.

(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；

(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）＝1

【解析】(1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.

(2)由題知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，

其中，c＝，設B(x，y)．

由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，

解得x＝，y＝－，即B.

將B點坐標代入＝1，得＝1，即＝1，解得a2＝3c2.①

又由·＝(－c，－b)·，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②

由①②解得c2＝1，a2＝3，從而有b2＝2.

所以橢圓方程為＝1.