Question

已知點A（－2,0），B（2,0），動點P滿足：∠APB=2θ,且|PA||PB|sin²θ=2

（1）證明：動點P的軌跡Q是雙曲線；

（2）過點B的直線l與軌跡Q交于兩點 ．試問x軸上是否存在定點C，使 為常數，若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由

Answer 1

解: （1）依題意，由余弦定理得：

,                           ……2分

即即

　　

．

,即．　　          …………4分

（當動點與兩定點共線時也符合上述結論）

動點的軌跡為以為焦點,實軸長為的雙曲線．

所以，軌跡Q的方程為．                               …………6分

（2）假設存在定點,使為常數．

（1）當直線 不與軸垂直時，

設直線的方程為,代入整理得:

．                              …………7分

由題意知，．

設,,則,．        …………8分

于是，            …………9分

．                      …………11分

要使是與無關的常數，當且僅當，此時．   …12分

（2）當直線 與軸垂直時，可得點,，

當時，．                        …13分

故在軸上存在定點,使為常數．                  …………14分