Question

（08年平遙中學(xué)） (12分) 已知點A（－2,0），B（2,0），動點P滿足：∠APB=2θ,且|PA||PB|sin²θ=2

（1）求動點P的軌跡Q的方程；

（2）過點B的直線l與軌跡Q交于兩點M，N。試問x軸上是否存在定點C，使?為常數(shù)，若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解析：（Ⅰ）依題意，由余弦定理得：, …2分

即即

　　

.

,即.　　…………4分

（當動點與兩定點共線時也符合上述結(jié)論）

動點的軌跡為以為焦點,實軸長為的雙曲線．

所以，軌跡的方程為.     …………6分

(Ⅱ)假設(shè)存在定點,使為常數(shù)．

（1）當直線 不與軸垂直時，

設(shè)直線的方程為,代入整理得:

．             …………7分

由題意知，．

設(shè),,則,．…………8分

于是，   …………9分

．                …………10分

要使是與無關(guān)的常數(shù)，當且僅當，此時． …11分

（2）當直線 與軸垂直時，可得點,，

當時，．   

故在軸上存在定點,使為常數(shù).     …………12分