Question

（08年平遙中學(xué)） (12分) 已知點(diǎn)A（－2,0），B（2,0），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：∠APB=2θ,且|PA||PB|sin²θ=2

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Q的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)l與軌跡Q交于兩點(diǎn)M，N。試問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)C，使?為常數(shù)，若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解析: （Ⅰ）依題意，由余弦定理得：, …2分

即即

　　

.

,即.　　…………4分

（當(dāng)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)也符合上述結(jié)論）

動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線(xiàn)．

所以，軌跡的方程為.     …………6分

(Ⅱ)假設(shè)存在定點(diǎn),使為常數(shù)．

（1）當(dāng)直線(xiàn) 不與軸垂直時(shí)，

設(shè)直線(xiàn)的方程為,代入整理得:

．             …………7分

由題意知，．

設(shè),,則,．…………8分

于是，   …………9分

．                …………10分

要使是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)． …11分

（2）當(dāng)直線(xiàn) 與軸垂直時(shí)，可得點(diǎn),，

當(dāng)時(shí)，．   

故在軸上存在定點(diǎn),使為常數(shù).     …………12分