Question

（08年福州質檢二）（12分）

已知點A（－2,0），B（2,0），動點P滿足：∠APB=2,且|PA||PB|sin²θ=2，

（Ⅰ）求證：動點P的軌跡Q是雙曲線；

（Ⅱ）過點B的直線與軌跡Q交于兩點M，N.試問軸上是否存在定點C，使為常數，若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

解析: （Ⅰ）依題意，由余弦定理得：

, ……2分

即

　　

.

,即.　　…………4分

（當動點與兩定點共線時也符合上述結論）

動點的軌跡Q是以為焦點,實軸長為的雙曲線．其方程為.………6分

(Ⅱ)假設存在定點,使為常數．

（1）當直線不與軸垂直時，

設直線的方程為,代入整理得:

．…………7分

由題意知，．

設,,則,．…………8分

于是，   …………9分

．…………10分

要使是與無關的常數，當且僅當，此時．…11分

（2）當直線與軸垂直時，可得點,，

當時，．   

故在軸上存在定點,使為常數.…………12分