Question

設F₁，F₂分別是橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點

(1)若橢圓C上的點到F₁，F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；

(2)設點P是(1)中所得橢圓上的動點，，求PQ的最大值；

(3)已知橢圓具有性質：若M，N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為K_PM、K_PN時，那么K_PM與K_PN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)橢圓的焦點在軸上，由橢圓上的點到兩點的距離之和是4，得 　　即，又在橢圓上，，解得，于是 　　所以橢圓的方程是，焦點 　　設，則， 　　 　　又，當時， 　　類似的性質為：若是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，點是雙曲線上任意一點，當直線的斜率都存在，并記為時，那么與之積是與點位置無關的定值． 　　設點，則點，其中，設點，則由， 　　，得，將代入上式得：