Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

6m2

+

y2

2m2

=1（m＞0）的左，右焦點．
（1）當P∈C，且

PF1

•

PF

2=0，|PF₁|•|PF₂|=8時，求橢圓C的左，右焦點F₁、F₂．
（2）F₁、F₂是（1）中的橢圓的左，右焦點，已知⊙F₂的半徑是1，過動點Q的作⊙F₂切線QM，使得|QF1|=

2

|QM|（M是切點），如圖．求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）利用條件得PF₁⊥PF₂以及PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=16m²．再利用橢圓定義求出關(guān)于m的方程，解出m的值就可求橢圓C的左，右焦點F₁、F₂．
（2）把已知條件轉(zhuǎn)化為|QF₁|²=2（|QF₂|²-1），整理即可求出動點Q的軌跡方程．

解答：解：（1）∵c²=a²-b²，∴c²=4m²．（2分）
又∵

PF1

•

PF2

=0∴PF₁⊥PF₂，（3分）
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=16m²．（5分）
由橢圓定義可知|PF1|+|PF2|=2a=2

6

m，（|PF₁|+|PF₂|）²=16m²+16=24m²，（6分）
從而得m²=2，c²=4m²=8，c=2

2

．∴F₁（-2

2

，0）、F₂（2

2

，0）．（7分）
（2）∵F₁（-2

2

，0），F(xiàn)₂（2

2

，0），
由已知：|QF1|=

2

|QM|，即|QF₁|²=2|QM|²，
所以有：|QF₁|²=2（|QF₂|²-1），設(shè)點Q（x，y），（9分）
則（x+2

2

）²+y²=2[（x-2

2

）²+y²-1]，（12分）
即（x-6

2

）²+y²=66）
綜上所述，所求軌跡方程為：（x-6

2

）²+y²=66．（14分）

點評：本題涉及到求動點的軌跡方程問題．在求動點的軌跡方程時，一般是利用條件得到關(guān)于動點的等式整理就可求出對應(yīng)動點的軌跡方程．